【摘要】已知矩阵特征值,分析有关矩阵的问题;讨论矩阵特征值在线性代数中的应用;
【关键词】矩阵对角化特征值特征向量
矩阵的特征值在高等代数中的应用非常广泛,作用也相当重要.常见的矩阵运算可以直接求出结果,但是另外一些复杂的矩阵需要先变形化简才可以方便的计算出结果.下面来讨论有关特征值方面的题型.
一、利用特征值求方阵的高次幂
若求一个n阶矩阵a的高次幂,直接计算的话是不容易计算出结果的.但是我们可以应用简便方法来求矩阵的高次幂.
当这个n阶矩阵a可以对角化时，再计算其高次幂,就会有简单方法。
若存在可逆矩阵p使得=.
即有则
而，故
例1已知，求。
解:我们可以求出，所以a的特征值为。对应于有两个线性无关的特征向量。对应于。
故a可对角化，则，
所以
例2已知，求的值。
解:（同例1）可以先求出a有三个互异的特征值为，故存在可逆阵p,
使
而
故。
二、利用特征值将矩阵化为对角矩阵
例3判断下列矩阵a是否与对角矩阵相似,如果相似,求出相似变换矩阵p,使为对角矩阵.
解:由得a的全部特征值为.
当时,解齐次线性方程组(a-e)x=0,由a-e=
得a的对应与特征值1的两个线性无关的特征向量.
当时,解齐次线性方程(a+2e)x=0,a+2e=
得a的对应特征值-2的一个特征向量,可见a有三个线性无关的特征向量,故可对角化.令p=,则.
例4设n阶矩阵a使,证明a可对角化.
证明:设a的特征值为,对应的特征向量,则,由可得,,即a的特征值为或.因为,所以有(a+e)(a-e)=0.
如果是a的特征值,而不是a的特征值,则,从而a-e可逆,故a+e=0,即a=-e,a可对角化.
如果是a的特征值,而不是,同理可得,a=e,即a可对角化.
如果和都是a的特征值,因为(a+e)(a-e)=0,所以有，
r（a+e）+r（a-e）n,且r（a+e）+r（a-e）=r（a+e）+r（a-e）r（a+e+e-a）=r（2e）=n.由此，r（a+e）+r（a-e）=n，于是有[n-r（a+e）]+[n-r(a-e)]=n,故a可以对角化。
三、已知某矩阵的特征值求该矩阵
矩阵特征值可以应用于矩阵对角化中,它在其他方面也有广泛的应用.下
面来讨论已知特征值,计算与矩阵有关的问题.
例5设三阶实对称矩阵a的特征值为，对应于，求a。
解:根据我们所学习过的定理:如果（a为三阶实对称矩阵，故必可对角化）。
又因为是a的二重特征值，故与特征值1对应的线性无关的特征向量有两个，设为，并且都和是正交的。
设所求特征向量为，则，即
由得。
规范化，得，。
作正交矩阵。
则，有，
所以，
四、利用矩阵特征值求另一矩阵的相似对角矩阵
例6已知三阶矩阵a的特征值为1，-1，2，设矩阵，
试求：矩阵d的特征值及其相似的对角矩阵。
解:因为三阶方阵a有三个相异的特征值1，-1，2，故存在可逆
矩阵p，使，
则。
从而，
所以
于是d的特征值为-4，-6，-12，
故可得,与矩阵d相似的对角矩阵为。
五、已知n阶方阵a的特征值,求方阵a的主对角线元素之和及行列式|a|的值
例7设n阶方阵a=的n个特征值为,试求:
(1)方阵a主对角线上的元素之和;
(2)行列式|a|的值.
分析:因为是a的n个特征值,即特征方程|a-e|=0的n个根为,故
另一方面,方阵a的特征多项式是
下面只要求出与即可.
1)、行列式|a-|是取自不同行和不同列的n个元素的乘积之代数和,其中必有一项是主对角线上的元素乘积,其余各项至少有一个元素()不在主对角线上.含元素的项的乘积中就不再含i行,j列的其余所有元素,亦即一定不含与.因此在这样的项中至多包含n-2个主对角线上的元素,所以这些项中的次数最多是n-2次,因此特征多项式中含的n次与n-1次的项只能在的项中出现。乘积中的系数是
即,比较式（1）,式（2）中的系数,
得,
故.
2)、在式（2）中,令得,特征多项式常数项为,则有=|a|.
比较式（1）,式（2）中的常数项系数,
故可得，|a|=.
参考文献
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